الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

خطوة 1

اضرب $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

خطوة 1.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} - 3 x + 1 y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ 0 x + 1 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

خطوة 1.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} - 3 x + y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

خطوة 2

يمكن كتابة معادلة المصفوفة في صورة مجموعة من المعادلات.

$- 3 x + y + 2 z = 5$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

خطوة 3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضف $3 x$ إلى كلا المتعادلين.

$y + 2 z = 5 + 3 x$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

خطوة 3.2

اطرح $2 z$ من كلا المتعادلين.

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $5 + 3 x - 2 z$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $4 x + 2 y - 4 z = - 4$ بـ $5 + 3 x - 2 z$ .

$4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + 2 \cdot 5 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.2.1.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

اضرب $2$ في $5$ .

$4 x + 10 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.2.1.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$4 x + 10 + 6 x + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.2.1.1.2.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.2.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أضف $4 x$ و $6 x$ .

$10 x + 10 - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.2.1.2.2

اطرح $4 z$ من $- 4 z$ .

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $y + 3 z = 3$ بـ $5 + 3 x - 2 z$ .

$(5 + 3 x - 2 z) + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 4.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $- 2 z$ و $3 z$ .

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $z$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$3 x + z = 3 - 5$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 5.2

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$z = 3 - 5 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 5.3

اطرح $5$ من $3$ .

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $z$ بـ $- 2 - 3 x$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $z$ في $10 x + 10 - 8 z = - 4$ بـ $- 2 - 3 x$ .

$10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط $10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 x + 10 - 8 \cdot - 2 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6.2.1.1.2

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$10 x + 10 + 16 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6.2.1.1.3

اضرب $- 3$ في $- 8$ .

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6.2.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

أضف $10 x$ و $24 x$ .

$34 x + 10 + 16 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6.2.1.2.2

أضف $10$ و $16$ .

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $z$ في $y = 5 + 3 x - 2 z$ بـ $- 2 - 3 x$ .

$y = 5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 6.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 5 + 3 x - 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 6.4.1.1.2

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 6.4.1.1.3

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 6.4.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.2.1

أضف $5$ و $4$ .

$y = 3 x + 9 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 6.4.1.2.2

أضف $3 x$ و $6 x$ .

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ في $34 x + 26 = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اطرح $26$ من كلا المتعادلين.

$34 x = - 4 - 26$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.1.2

اطرح $26$ من $- 4$ .

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2

اقسِم كل حد في $34 x = - 30$ على $34$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اقسِم كل حد في $34 x = - 30$ على $34$ .

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $34$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 30$ و $34$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 30$ .

$x = \frac{2 (- 15)}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $34$ .

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 7.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ بـ $- \frac{15}{17}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ في $y = 9 x + 9$ بـ $- \frac{15}{17}$ .

$y = 9 (- \frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط $9 (- \frac{15}{17}) + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

اضرب $9 (- \frac{15}{17})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$y = - 9 (\frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.1.1.2

اجمع $- 9$ و $\frac{15}{17}$ .

$y = \frac{- 9 \cdot 15}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.1.1.3

اضرب $- 9$ في $15$ .

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.2

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + 9 \cdot \frac{17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.3

اجمع $9$ و $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + \frac{9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 135 + 9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.5.1

اضرب $9$ في $17$ .

$y = \frac{- 135 + 153}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.2.1.5.2

أضف $- 135$ و $153$ .

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ في $z = - 2 - 3 x$ بـ $- \frac{15}{17}$ .

$z = - 2 - 3 (- \frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط $- 2 - 3 (- \frac{15}{17})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

اضرب $- 3 (- \frac{15}{17})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$z = - 2 + 3 (\frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.1.2

اجمع $3$ و $\frac{15}{17}$ .

$z = - 2 + \frac{3 \cdot 15}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.1.3

اضرب $3$ في $15$ .

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{17}{17}$ .

$z = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.3

اجمع $- 2$ و $\frac{17}{17}$ .

$z = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$z = \frac{- 2 \cdot 17 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.5.1

اضرب $- 2$ في $17$ .

$z = \frac{- 34 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 8.4.1.5.2

أضف $- 34$ و $45$ .

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

خطوة 9

اسرِد جميع الحلول.

$z = \frac{11}{17}, y = \frac{18}{17}, x = - \frac{15}{17}$